Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043229

Ищем точку максимума — место, где рост функции сменяется убыванием. Функция — произведение $(x-14)^{2}$ и $e^{26-x}$, используем правило $(uv)'=u'v+uv'$.

Производная $(x-14)^{2}$ равна $2(x-14)$. Производная $e^{26-x}$ равна $-e^{26-x}$ (множитель $-1$ — производная показателя $26-x$).

$$y'=2(x-14)e^{26-x}-(x-14)^{2}e^{26-x}.$$

Вынесем общие множители $e^{26-x}$ и $(x-14)$:

$$y'=e^{26-x}(x-14)\bigl(2-(x-14)\bigr)=e^{26-x}(x-14)(16-x).$$

Экспонента положительна, знак задают множители $(x-14)$ и $(16-x)$. Нули: $x=14$ и $x=16$.

Знаки. При $x=10$: $(-4)\cdot 6\lt 0$ — функция убывает. При $x=15$: $1\cdot 1\gt 0$ — растёт. При $x=20$: $6\cdot(-4)\lt 0$ — убывает.

В точке $x=14$ убывание сменяется ростом — это минимум (там функция равна нулю). В точке $x=16$ рост сменяется убыванием — это точка максимума.