Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043228

Ищем наименьшее значение на отрезке $[-1;7]$. Функция — произведение многочлена $x^{2}-10x+10$ и экспоненты $e^{2-x}$, производная — по правилу $(uv)'=u'v+uv'$.

Производная многочлена: $2x-10$. Производная $e^{2-x}$ равна $-e^{2-x}$ (производная показателя $2-x$ равна $-1$).

$$y'=(2x-10)e^{2-x}-\left(x^{2}-10x+10\right)e^{2-x}=e^{2-x}\bigl(2x-10-x^{2}+10x-10\bigr).$$

Приведём подобные в скобке: $-x^{2}+12x-20$. Вынесем минус и разложим: $x^{2}-12x+20=(x-2)(x-10)$, ведь $2+10=12$ и $2\cdot 10=20$. Итак,

$$y'=-e^{2-x}(x-2)(x-10).$$

Нули: $x=2$ и $x=10$. Точка $10$ не входит в отрезок $[-1;7]$, остаётся $x=2$.

Знаки на отрезке. При $x=0$: $-(-2)\cdot(-10)=-20\lt 0$ — функция убывает. При $x=5$: $-(3)\cdot(-5)=15\gt 0$ — растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=2$ — это самое низкое место на отрезке. Посчитаем: $2^{2}-10\cdot 2+10=4-20+10=-6$, а $e^{2-2}=e^{0}=1$:

$$y(2)=-6\cdot 1=-6.$$

Проверим себя концами. $y(-1)=(1+10+10)e^{3}=21e^{3}$ — большое положительное число. $y(7)=(49-70+10)e^{-5}=-\dfrac{11}{e^{5}}$, а $e^{5}\approx 148$, так что это примерно $-0{,}07$ — гораздо больше, чем $-6$.