Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00014006

Найдём производную произведения по правилу $(uv)'=u'v+uv'$ и вынесем общий множитель — экспоненту:

$$y'=e^{7-x}(x-8).$$

Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной определяет скобка. Приравняем её к нулю:

$$x-8=0\Rightarrow x=8.$$

Слева и справа от этой точки скобка меняет знак, поэтому это точка минимума (слева $y'<0$, справа $y'>0$).