Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043230

Ищем наибольшее значение на отрезке $[-5;-3{,}5]$. Функция — произведение двух скобок, поэтому производную найдём по правилу произведения $(uv)'=u'v+uv'$.

Здесь $u=(x+4)^{2}$, её производная $u'=2(x+4)$; $v=x+3$, её производная $v'=1$. Число $-6$ даёт ноль:

$$y'=2(x+4)(x+3)+(x+4)^{2}.$$

Вынесем общий множитель $(x+4)$:

$$y'=(x+4)\bigl(2(x+3)+(x+4)\bigr)=(x+4)(2x+6+x+4)=(x+4)(3x+10).$$

Нули производной: $x=-4$ и $x=-\dfrac{10}{3}\approx-3{,}33$. Второй нуль больше $-3{,}5$, то есть лежит правее отрезка. На отрезке остаётся только $x=-4$.

Знаки на отрезке. При $x=-4{,}5$: $(-0{,}5)\cdot(-3{,}5)\gt 0$ — функция растёт. При $x=-3{,}75$: $0{,}25\cdot(-1{,}25)\lt 0$ — убывает.

Значит, функция растёт до $x=-4$ и потом убывает — наибольшее значение в точке $x=-4$:

$$y(-4)=0^{2}\cdot(-1)-6=0-6=-6.$$

Проверим себя концами: $y(-5)=1\cdot(-2)-6=-8$ и $y(-3{,}5)=0{,}25\cdot(-0{,}5)-6=-6{,}125$ — оба меньше.