Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043216

Ищем точку максимума: в ней рост функции сменяется убыванием. Функция — произведение $(x+81)$ и $e^{81-x}$, поэтому берём правило $(uv)'=u'v+uv'$.

Производная $(x+81)$ равна $1$. Производная $e^{81-x}$ — это экспонента, умноженная на производную показателя $(81-x)'=-1$, то есть $-e^{81-x}$.

$$y'=1\cdot e^{81-x}+(x+81)\cdot\left(-e^{81-x}\right)=e^{81-x}\bigl(1-(x+81)\bigr)=e^{81-x}(-x-80)=-e^{81-x}(x+80).$$

Экспонента положительна, поэтому знак $y'$ противоположен знаку $x+80$.

При $x\lt -80$ выражение $x+80$ отрицательно, значит, $y'\gt 0$ — функция растёт. При $x\gt -80$ выражение $x+80$ положительно, $y'\lt 0$ — функция убывает.

Рост сменяется убыванием в точке $x=-80$ — это точка максимума.

Проверим себя: $y'(-80)=-e^{161}\cdot 0=0$, а, например, $y'(0)=-81e^{81}\lt 0$ — правее функция действительно убывает.