Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043215

Ищем точку минимума — место, где функция перестаёт убывать и начинает расти. Функция — произведение двух множителей: $(77-x)$ и $e^{77-x}$. Значит, производную ищем по правилу $(uv)'=u'v+uv'$.

Производная первого множителя: $(77-x)'=-1$. Производная экспоненты $e^{77-x}$ — это сама экспонента, умноженная на производную показателя: $(77-x)'=-1$, поэтому $\left(e^{77-x}\right)'=-e^{77-x}$.

Собираем:

$$y'=-1\cdot e^{77-x}+(77-x)\cdot\left(-e^{77-x}\right)=-e^{77-x}\bigl(1+77-x\bigr)=-e^{77-x}(78-x)=e^{77-x}(x-78).$$

Экспонента всегда положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком $x-78$. При $x\lt 78$ он отрицательный — функция убывает. При $x\gt 78$ положительный — функция растёт.

Убывание сменяется ростом в точке $x=78$ — это точка минимума.

Проверим себя другим способом. Обозначим $t=77-x$, тогда $y=te^{t}$ и $y'_t=e^{t}+te^{t}=e^{t}(t+1)$. Минимум функции $te^{t}$ — при $t=-1$, то есть $77-x=-1$, откуда $x=78$. Ответ совпал.