Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043213

Ищем наибольшее значение на отрезке $[-2;7]$. Кандидаты — точки максимума внутри отрезка и концы отрезка.

Производная многочлена считается почленно: $\left(2x^{3}\right)'=6x^{2}$, $\left(-9x^{2}\right)'=-18x$, $(-24x)'=-24$, число $14$ даёт ноль:

$$y'=6x^{2}-18x-24=6\left(x^{2}-3x-4\right)=6(x-4)(x+1).$$

Разложение проверяется так: $4+(-1)=3$ и $4\cdot(-1)=-4$. Нули производной: $x=-1$ и $x=4$, оба внутри отрезка.

Знаки. При $x=-1{,}5$: $6\cdot(-5{,}5)\cdot(-0{,}5)\gt 0$ — функция растёт. При $x=0$: $6\cdot(-4)\cdot 1\lt 0$ — убывает. При $x=5$: $6\cdot 1\cdot 6\gt 0$ — растёт.

Значит, $x=-1$ — точка максимума, $x=4$ — точка минимума. Но после минимума функция вновь растёт до конца отрезка, поэтому правый конец тоже может оказаться самым высоким местом. Сравним значения.

В точке максимума:

$$y(-1)=2\cdot(-1)-9\cdot 1-24\cdot(-1)+14=-2-9+24+14=27.$$

На правом конце:

$$y(7)=2\cdot 343-9\cdot 49-24\cdot 7+14=686-441-168+14=91.$$

Левый конец тоже проверим: $y(-2)=-16-36+48+14=10$.

Самое большое из чисел $10$, $27$ и $91$ — это $91$.