Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043212

Ищем наименьшее значение на отрезке $[4;36]$. Оно бывает либо в точке минимума внутри отрезка, либо на конце. Поможет производная.

Запишем $x\sqrt{x}=x^{\frac32}$. Её производная $\dfrac32\sqrt{x}$. Умножим на коэффициент $-\dfrac25$: $-\dfrac25\cdot\dfrac32=-\dfrac{6}{10}=-\dfrac35$. Производная $3x$ равна $3$, число $-8$ даёт ноль:

$$y'=-\dfrac35\sqrt{x}+3.$$

Нуль производной: $\dfrac35\sqrt{x}=3$, откуда $\sqrt{x}=5$ и $x=25$ — внутри отрезка.

Знаки. При $x=4$: $-\dfrac35\cdot 2+3=-1{,}2+3=1{,}8\gt 0$ — функция растёт. При $x=36$: $-\dfrac35\cdot 6+3=-3{,}6+3=-0{,}6\lt 0$ — убывает.

Значит, $x=25$ — точка максимума, вершина «горки». Самое низкое место — на одном из концов. Считаем оба.

При $x=4$: $x\sqrt{x}=4\cdot 2=8$,

$$y(4)=-\dfrac25\cdot 8+3\cdot 4-8=-3{,}2+12-8=0{,}8.$$

При $x=36$: $x\sqrt{x}=36\cdot 6=216$,

$$y(36)=-\dfrac25\cdot 216+3\cdot 36-8=-86{,}4+108-8=13{,}6.$$

Сравниваем: $0{,}8\lt 13{,}6$, поэтому наименьшее значение равно $0{,}8$.