Исследование… — Задание ЕГЭ по математике №00043211

Наибольшее значение на отрезке достигается либо в точке максимума внутри отрезка, либо на одном из концов. Разберёмся, где функция растёт, а где убывает.

Удобно записать $x\sqrt{x}$ как степень: $x\sqrt{x}=x^{1}\cdot x^{\frac12}=x^{\frac32}$. Производная степени: показатель спускается множителем и уменьшается на единицу, $\left(x^{\frac32}\right)'=\dfrac32x^{\frac12}=\dfrac32\sqrt{x}$.

Тогда производная функции:

$$y'=\dfrac13\cdot\dfrac32\sqrt{x}-3=\dfrac12\sqrt{x}-3.$$

Приравняем к нулю: $\dfrac12\sqrt{x}=3$, то есть $\sqrt{x}=6$ и $x=36$. Точка внутри отрезка $[9;81]$.

Знаки. При $x=9$: $\dfrac12\cdot 3-3=-1{,}5\lt 0$ — функция убывает. При $x=81$: $\dfrac12\cdot 9-3=1{,}5\gt 0$ — растёт.

Значит, в точке $x=36$ убывание сменяется ростом — это минимум, самая низкая точка. А наибольшее значение будет на одном из концов. Посчитаем оба.

При $x=9$: $\sqrt9=3$, $x\sqrt x=27$,

$$y(9)=\dfrac13\cdot 27-3\cdot 9+70=9-27+70=52.$$

При $x=81$: $\sqrt{81}=9$, $x\sqrt x=729$,

$$y(81)=\dfrac13\cdot 729-3\cdot 81+70=243-243+70=70.$$

Сравниваем: $70\gt 52$, поэтому наибольшее значение равно $70$.