Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042306

Биссектриса угла $B$ выходит через сторону $CD$ и пересекает прямую $AD$ за точкой $D$, на её продолжении.

Начну с маленького треугольника $MDT$. Прямые $AD$ и $BC$ параллельны, $BM$ — секущая, поэтому $\angle DMT=\angle CBT$ (накрест лежащие). Прямые $AB$ и $CD$ параллельны, поэтому $\angle BTC=\angle ABT$, а $\angle ABT=\angle CBT$ по определению биссектрисы. Угол $DTM$ вертикальный к углу $BTC$.

Получается $\angle DMT=\angle CBT=\angle BTC=\angle DTM$, то есть треугольник $MDT$ равнобедренный с равными углами при $M$ и $T$, и $DT=MD=9$.

Тогда $CT=CD-DT=AB-DT=21-9=12$.

Треугольник $BCT$ тоже равнобедренный: $\angle CBT=\angle BTC$, поэтому $BC=CT=12$.

Осталось $BT$. Треугольники $TBC$ и $TMD$ подобны по двум углам ($BC\parallel MD$), коэффициент подобия равен $\dfrac{BC}{MD}=\dfrac{12}{9}=\dfrac43$. Значит, $BT:TM=4:3$, и отрезок $BM=35$ делится на $7$ равных частей:

$$BT=\dfrac47\cdot35=20.$$

Периметр:

$$P_{CBT}=BC+CT+BT=12+12+20=44.$$

Проверка через треугольник $ABM$. Он равнобедренный ($\angle AMB=\angle CBM=\angle ABM$), поэтому $AM=AB=21$. А по найденному $AM=AD+DM=BC+DM=12+9=21$ — совпало. И $TM=35-20=15$, отношение $20:15=4:3$ — верно.