Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042308

Отрезки $AM$ и $BK$ соединяют противоположные вершины четырёхугольника $ABMK$, то есть это его диагонали. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними, поэтому нужен угол между $AM$ и $BK$.

Пусть $E$ — точка пересечения биссектрис. В треугольнике $ABE$ углы при $A$ и $B$ — половины углов параллелограмма. Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, поэтому

$$\angle BAE+\angle ABE=\dfrac{\angle A+\angle B}{2}=\dfrac{180^\circ}{2}=90^\circ,$$

и по теореме о сумме углов треугольника $\angle AEB=180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Диагонали $AM$ и $BK$ перпендикулярны, $\sin90^\circ=1$:

$$S_{ABMK}=\dfrac12\cdot AM\cdot BK=\dfrac12\cdot10\cdot6=30.$$

Проверю другим способом. Треугольник $ABM$ равнобедренный: $\angle BMA=\angle MAD$ (накрест лежащие при $BC\parallel AD$), а $\angle MAD=\angle BAM$, значит, $AB=BM$. Так же из треугольника $BAK$: $AB=AK$. Отрезки $BM$ и $AK$ равны и параллельны, поэтому $ABMK$ — параллелограмм с равными соседними сторонами, то есть ромб.

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам: $AE=5$, $BE=3$. Ромб состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами $5$ и $3$: $S=4\cdot\dfrac12\cdot5\cdot3=30$ — совпало.