Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042304

Пусть $K$ — точка пересечения диагоналей ромба. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому $BK=KD=8$, а треугольник $ABK$ прямоугольный.

По теореме Пифагора:

$$AK^2=AB^2-BK^2=(8\sqrt5)^2-8^2=320-64=256\ \Rightarrow\ AK=16.$$

Значит, $AC=2\cdot16=32$ — это действительно большая диагональ ($32\gt16$), и $CK=16$.

Точки $A$, $B$, $D$, $E$ лежат на одной окружности, а хорды $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. По свойству пересекающихся хорд произведения их отрезков равны:

$$AK\cdot KE=BK\cdot KD\ \Rightarrow\ 16\cdot KE=8\cdot8\ \Rightarrow\ KE=4.$$

Точка $E$ лежит на отрезке $KC$, поэтому

$$CE=CK-KE=16-4=12.$$

Проверю через радиус. Ромб симметричен относительно $AC$, поэтому центр окружности, описанной около $ABD$, лежит на $AC$, и $AE$ — её диаметр: $AE=AK+KE=20$, радиус $10$.

Найду радиус независимо по формуле $R=\dfrac{abc}{4S}$ для треугольника $ABD$: стороны $8\sqrt5$, $8\sqrt5$, $16$, площадь $\dfrac12\cdot BD\cdot AK=\dfrac12\cdot16\cdot16=128$. Тогда $R=\dfrac{8\sqrt5\cdot8\sqrt5\cdot16}{4\cdot128}=\dfrac{320\cdot16}{512}=10$ — совпало.