Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042307

Обозначу $\angle ABT=\angle CBT=\varphi$ — биссектриса делит угол $B$ пополам. Точка $M$ лежит на продолжении $AD$ за точкой $D$, а весь отрезок

$$BM=BT+TM=18+12=30.$$

Треугольник $BCT$: $AB\parallel CD$, секущая $BT$, поэтому $\angle BTC=\angle ABT=\varphi$. Углы при $B$ и $T$ равны, значит, $CT=BC=15$.

Треугольник $ABM$: $AM\parallel BC$, секущая $BM$, поэтому $\angle AMB=\angle CBM=\varphi$. Углы при $B$ и $M$ равны, значит, $AB=AM$.

Оба треугольника равнобедренные с одинаковыми углами при основании $\varphi$, поэтому они подобны: вершина $A$ соответствует вершине $C$, основание $BM$ — основанию $BT$. Отношение боковой стороны к основанию у них одинаковое:

$$\dfrac{AB}{BM}=\dfrac{BC}{BT}\ \Rightarrow\ AB=\dfrac{15\cdot30}{18}=25.$$

Периметр:

$$P_{ABM}=AB+AM+BM=25+25+30=80.$$

Проверю через треугольники $TBC$ и $TMD$: они подобны ($BC\parallel MD$), $\dfrac{MD}{BC}=\dfrac{TM}{BT}=\dfrac{12}{18}=\dfrac23$, откуда $MD=10$. Тогда $AM=AD+DM=15+10=25=AB$ — совпало. И $CD=CT+TD$: $DT=MD=10$ (треугольник $MDT$ тоже равнобедренный), $CD=15+10=25=AB$ — сходится.