Параллелограм… — Задание 1 ЕГЭ по математике №00042305

Сторону ромба найду из площади. Площадь ромба равна квадрату стороны, умноженному на синус угла между сторонами:

$$BC^2\cdot\sin B=320\ \Rightarrow\ BC^2=\dfrac{320}{0{,}8}=400\ \Rightarrow\ BC=20.$$

Высота $CH$ перпендикулярна стороне $AD$, а $AD\parallel BC$, поэтому $CH\perp BC$. Значит, треугольник $BCK$ прямоугольный с прямым углом $C$.

Диагональ ромба — биссектриса его угла, поэтому $\angle CBK=\dfrac{\angle B}{2}$. Обозначу $\alpha=\dfrac{\angle B}{2}$. В прямоугольном треугольнике $BCK$ катет $CK$ противолежит углу $\alpha$:

$$CK=BC\cdot\operatorname{tg}\alpha.$$

Угол $B$ острый, поэтому его косинус положителен: $\cos B=\sqrt{1-0{,}64}=0{,}6$. Тангенс половинного угла:

$$\operatorname{tg}\dfrac{B}{2}=\dfrac{\sin B}{1+\cos B}=\dfrac{0{,}8}{1{,}6}=0{,}5.$$

Тогда $CK=20\cdot0{,}5=10$.

Проверю координатами. $B=(0;0)$, $C=(20;0)$, $A=20\cdot(0{,}6;\,0{,}8)=(12;16)$, $D=A+C-B=(32;16)$. Сторона $AD$ горизонтальна, поэтому высота $CH$ лежит на прямой $x=20$, а $H=(20;16)$ попадает на отрезок $AD$.

Прямая $BD$: $y=\dfrac{16}{32}x=\dfrac x2$. При $x=20$ получаю $K=(20;10)$, и $CK=10$ — совпало.