Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042660

Найдём производную по правилу произведения:

$$U'(r)=100\left(1-\dfrac{r^{2}}{100}\right)+(250+100r)\cdot\left(-\dfrac{2r}{100}\right)=100-r^{2}-5r-2r^{2}=100-5r-3r^{2}.$$

Решим уравнение $3r^{2}+5r-100=0$: дискриминант $25+1200=1225=35^{2}$, корни $r=\dfrac{-5\pm35}{6}$, то есть $r=5$ и $r=-\dfrac{20}{3}$. На отрезке $[0;10]$ лежит только $r=5$.

Производная $100-5r-3r^{2}$ — квадратный трёхчлен с отрицательным старшим коэффициентом: между корнями он положителен, а правее $r=5$ отрицателен. Значит, на $[0;5]$ средний урон растёт, на $[5;10]$ — убывает, и $r=5$ — точка максимума:

$$U(5)=(250+500)\left(1-\dfrac{25}{100}\right)=750\cdot0{,}75=562{,}5.$$

На концах отрезка $U(0)=250$ и $U(10)=0$ — оба значения меньше.

Проверим себя другим способом — раскроем скобки: $U(r)=250+100r-2{,}5r^{2}-r^{3}$, и производная $100-5r-3r^{2}$ получается та же. Числа подтверждают максимум: $U(4)=650\cdot0{,}84=546$, $U(6)=850\cdot0{,}64=544$ — меньше, чем $562{,}5$.