Global EE

Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042655

Задание №17. Прикладная оптимизация

Наибольшее и наименьшее значение в экономических задачах

№2. Задание 17

ID: 00042655

В Genshin Impact средний урон персонажа зависит от шанса критического удара и критического урона. У персонажа базовый шанс крита $5\%$ и базовый крит. урон $50\%$. Игрок распределяет бонусы артефактов: если он добавит $x$ к шансу крита (в долях единицы), то к крит. урону сможет добавить только $2(0{,}6-x)$, где $0\leqslant x\leqslant0{,}6$. Средний урон пропорционален величине

$$M(x)=1+(0{,}05+x)\big(0{,}5+2(0{,}6-x)\big).$$

Каким будет шанс крита у персонажа (в процентах), если распределить бонусы так, чтобы средний урон был наибольшим?

Источник: Global_EE

Решение

Раскроем скобку во втором множителе: $0{,}5+2(0{,}6-x)=1{,}7-2x$. Тогда

$$M(x)=1+(0{,}05+x)(1{,}7-2x),\quad 0\leqslant x\leqslant0{,}6.$$

Найдём производную по правилу произведения:

$$M'(x)=(1{,}7-2x)-2(0{,}05+x)=1{,}6-4x.$$

Производная равна нулю при $x=0{,}4$ — эта точка лежит на отрезке $[0;0{,}6]$. При $x\lt0{,}4$ производная положительна, при $x\gt0{,}4$ — отрицательна, поэтому $x=0{,}4$ — точка максимума, и наибольшее значение на отрезке достигается в ней.

Сравним с концами: $M(0)=1+0{,}05\cdot1{,}7=1{,}085$, $M(0{,}6)=1+0{,}65\cdot0{,}5=1{,}325$, $M(0{,}4)=1+0{,}45\cdot0{,}9=1{,}405$ — в найденной точке больше всего.

Шанс крита при этом $0{,}05+0{,}4=0{,}45$, то есть $45\%$, а крит. урон $0{,}5+2\cdot0{,}2=0{,}9$, то есть $90\%$. Получилось знаменитое среди игроков соотношение $1:2$.

Проверим себя другим способом. $M(x)-1=(0{,}05+x)(1{,}7-2x)$ — квадратичная функция с корнями $x=-0{,}05$ и $x=0{,}85$, её график — парабола ветвями вниз. Вершина лежит посередине между корнями: $x=\dfrac{-0{,}05+0{,}85}{2}=0{,}4$. Результат совпал.

Ответ

$45\%$

Другие задания по теме «Наибольшее и наименьшее значение в экономических задачах» (8)