Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042648

Найдём производную по правилу сложной функции; производная $\sqrt t$ равна $\dfrac{1}{2\sqrt t}$:

$$P'(t)=10\,000\,e^{0{,}6\sqrt t-0{,}1t}\cdot\left(\dfrac{0{,}3}{\sqrt t}-0{,}1\right),\quad t\gt0.$$

Первый множитель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $\dfrac{0{,}3}{\sqrt t}-0{,}1$. Эта разность равна нулю при $\sqrt t=3$, то есть при $t=9$.

При $0\lt t\lt9$ имеем $\sqrt t\lt3$, разность положительна — выгода растёт; при $t\gt9$ разность отрицательна — выгода падает: набор дорожает медленнее, чем обесцениваются деньги. Значит, $t=9$ — точка максимума.

Через $9$ лет набор будет стоить $10\,000e^{1{,}8}\approx60\,500$ рублей, а в сегодняшних деньгах это $P(9)=10\,000e^{1{,}8-0{,}9}=10\,000e^{0{,}9}\approx24\,600$ рублей.

Проверим себя другим способом. Экспонента возрастает, поэтому $P(t)$ наибольшее там же, где наибольший показатель. Обозначим $s=\sqrt t\geqslant0$; показатель становится квадратичной функцией $g=0{,}6s-0{,}1s^{2}$. Это парабола ветвями вниз с вершиной $s=\dfrac{0{,}6}{2\cdot0{,}1}=3$, откуда снова $t=9$. Результат совпал.