Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042646

Множитель $12\ln3$ положителен и на положение минимума не влияет, поэтому исследуем функцию $f(b)=\dfrac{b}{\ln b}$ при $b\gt1$, а затем выберем лучшее целое $b\geqslant2$.

По правилу дифференцирования частного, учитывая $(\ln b)'=\dfrac1b$:

$$f'(b)=\dfrac{\ln b-b\cdot\dfrac1b}{\ln^{2}b}=\dfrac{\ln b-1}{\ln^{2}b}.$$

Знаменатель положителен, знак производной совпадает со знаком $\ln b-1$: при $1\lt b\lt e$ производная отрицательна, при $b\gt e$ положительна. Значит, $f$ убывает на $(1;e]$ и возрастает на $[e;+\infty)$, а наименьшее значение среди всех $b\gt1$ — при $b=e\approx2{,}72$.

Но $b$ — целое число. Левее $e$ из целых $b\geqslant2$ есть только $b=2$, а правее функция возрастает, поэтому из целых $b\geqslant3$ лучшее — $b=3$. Сравним эти два кандидата:

$$\dfrac{3}{\ln3}\lt\dfrac{2}{\ln2}\iff3\ln2\lt2\ln3\iff\ln8\lt\ln9.$$

Последнее неравенство верно, значит, наименьшее число символов при $b=3$. Численно $\dfrac{2}{\ln2}\approx2{,}885$, $\dfrac{3}{\ln3}\approx2{,}731$, $\dfrac{4}{\ln4}\approx2{,}885$.

Проверим на самом замке: при $b=3$ нужно $12$ колёсиков, всего $36$ символов; при $b=2$ колёсиков $12\log_{2}3\approx19{,}02$, это около $38$ символов; при $b=9$ — $6$ колёсиков и $54$ символа. Троичный замок экономнее всех.