Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042652

Найдём производную, помня о внутренних производных: показатели содержат множитель $\pm\dfrac15$:

$$C'(T)=-80e^{-\frac{T-20}{5}}+20e^{\frac{T-20}{5}}=20e^{-\frac{T-20}{5}}\left(e^{\frac{2(T-20)}{5}}-4\right).$$

Первый множитель положителен, знак производной совпадает со знаком $e^{\frac{2(T-20)}{5}}-4$. Она равна нулю, когда $\dfrac{2(T-20)}{5}=\ln4$, то есть при $T_0=20+\dfrac52\ln4=20+5\ln2\approx23{,}5$ °C; эта точка лежит на отрезке $[18;30]$.

Показательная функция возрастает, поэтому при $T\lt T_0$ производная отрицательна, при $T\gt T_0$ положительна. Значит, $T_0$ — точка минимума на отрезке.

В этой точке $e^{\frac{T_0-20}{5}}=e^{\ln2}=2$, поэтому

$$C(T_0)=\dfrac{400}{2}+100\cdot2=200+200=400\ \text{рублей в час}.$$

В оптимуме обе статьи расходов равны — по $200$ рублей. Для сравнения, на краях отрезка $C(18)\approx664$ и $C(30)\approx793$ рубля.

Проверим себя другим способом. Обозначим $z=e^{\frac{T-20}{5}}$; при $18\leqslant T\leqslant30$ число $z$ пробегает отрезок $\left[e^{-0{,}4};e^{2}\right]$, который содержит $z=2$. Расходы $C=\dfrac{400}{z}+100z\geqslant2\sqrt{\dfrac{400}{z}\cdot100z}=400$, причём равенство при $\dfrac{400}{z}=100z$, то есть при $z=2$. Результат совпал.