Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042656

Найдём производную. По правилу сложной функции $\left(\ln\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\right)'=\dfrac{1}{1+\dfrac{x}{100}}\cdot\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{100+x}$, поэтому

$$W'(x)=\dfrac{500}{100+x}-1=\dfrac{400-x}{100+x}.$$

При $x\geqslant0$ знаменатель положителен, и знак производной совпадает со знаком $400-x$: при $0\leqslant x\lt400$ производная положительна, при $x\gt400$ отрицательна.

Значит, $x=400$ — точка максимума, и наибольший выигрыш достигается при рекламном бюджете $400$ тысяч рублей:

$$W(400)=500\ln5-400\approx500\cdot1{,}609-400\approx405\ \text{тыс. руб.}$$

Смысл производной понятен и без формул: $\dfrac{500}{100+x}$ — сколько прибыли приносит последняя вложенная тысяча. Пока она приносит больше тысячи, вкладывать выгодно; после $400$ тысяч каждая новая тысяча возвращает меньше, чем стоит.

Проверим себя другим способом — касательной. Функция $\ln t$ выпукла вверх, поэтому её график лежит ниже касательной в точке $t=5$: $\ln t\leqslant\ln5+\dfrac{t-5}{5}$. При $t=1+\dfrac{x}{100}$ получаем $500\ln\left(1+\dfrac{x}{100}\right)\leqslant500\ln5+x-400$, то есть $W(x)\leqslant500\ln5-400$, и равенство достигается только при $t=5$, то есть при $x=400$. Результат совпал.