Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042657

На концах отрезка доход нулевой: без стримов нет донатов, без роликов нет новых зрителей. Внутри отрезка $D(x)\gt0$, поэтому наибольшее значение достигается внутри.

Найдём производную по правилу произведения при $0\lt x\lt10$:

$$D'(x)=1000\left(0{,}4x^{-0{,}6}(10-x)^{0{,}6}-0{,}6x^{0{,}4}(10-x)^{-0{,}4}\right).$$

Вынесем за скобку положительный множитель $x^{-0{,}6}(10-x)^{-0{,}4}$:

$$D'(x)=1000\,x^{-0{,}6}(10-x)^{-0{,}4}\big(0{,}4(10-x)-0{,}6x\big)=1000\,x^{-0{,}6}(10-x)^{-0{,}4}(4-x).$$

Знак производной совпадает со знаком $4-x$: при $0\lt x\lt4$ доход растёт, при $4\lt x\lt10$ — падает. Значит, $x=4$ — точка максимума: $4$ часа стримов и $6$ часов монтажа.

Доход при этом $D(4)=1000\cdot4^{0{,}4}\cdot6^{0{,}6}\approx5100$ рублей в день, а при равном делении, по $5$ часов, — ровно $5000$ рублей.

Проверим себя другим способом — через логарифм. Доход положителен, и его максимум совпадает с максимумом функции $\ln D=\ln1000+0{,}4\ln x+0{,}6\ln(10-x)$. Её производная $\dfrac{0{,}4}{x}-\dfrac{0{,}6}{10-x}$ равна нулю при $0{,}4(10-x)=0{,}6x$, то есть при $x=4$. Время делится в пропорции показателей степеней, $0{,}4:0{,}6$. Результат совпал.