Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042653

Найдём скорость прироста. Производная дроби с постоянным числителем: $\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^{2}}$, а $\left(1+99e^{-0{,}5t}\right)'=-49{,}5e^{-0{,}5t}$:

$$N'(t)=\dfrac{100\,000\cdot49{,}5e^{-0{,}5t}}{\left(1+99e^{-0{,}5t}\right)^{2}}.$$

Обозначим $z=99e^{-0{,}5t}$. Когда $t$ растёт от $0$ до бесконечности, $z$ убывает от $99$ к нулю, принимая каждое значение один раз. Тогда $49{,}5e^{-0{,}5t}=0{,}5z$ и

$$N'=\dfrac{50\,000\,z}{(1+z)^{2}}=g(z),\quad 0\lt z\leqslant99.$$

Найдём наибольшее значение $g(z)$:

$$g'(z)=50\,000\cdot\dfrac{(1+z)^{2}-2z(1+z)}{(1+z)^{4}}=\dfrac{50\,000\,(1-z)}{(1+z)^{3}}.$$

Производная положительна при $z\lt1$ и отрицательна при $z\gt1$, так что наибольшее значение — при $z=1$: $g(1)=\dfrac{50\,000}{4}=12\,500$.

Значение $z=1$ достигается при $99e^{-0{,}5t}=1$, то есть при $t=2\ln99\approx9{,}2$ суток. В этот момент $N=\dfrac{100\,000}{2}=50\,000$: быстрее всего игра растёт, когда набрала ровно половину будущей аудитории.

Проверим себя другим способом. Из формулы $N=\dfrac{100\,000}{1+z}$ получаем, что скорость прироста выражается через само число игроков: $N'=\dfrac{0{,}5\,N\,(100\,000-N)}{100\,000}$. Это парабола по $N$ с вершиной посередине между корнями $0$ и $100\,000$, то есть при $N=50\,000$, где $N'=\dfrac{0{,}5\cdot50\,000\cdot50\,000}{100\,000}=12\,500$. Результат совпал.