Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042649

Число $n$ натуральное, но сначала исследуем функцию $M(x)=\left(\dfrac{20}{x}\right)^{x}$ при всех $x\gt0$. Она положительна, а натуральный логарифм возрастает, поэтому $M$ и $\ln M$ растут и убывают одновременно:

$$h(x)=\ln M(x)=x\left(\ln20-\ln x\right).$$

Производная по правилу произведения:

$$h'(x)=\ln20-\ln x-x\cdot\dfrac1x=\ln20-\ln x-1=\ln\dfrac{20}{ex}.$$

Производная положительна, пока $\dfrac{20}{ex}\gt1$, то есть при $x\lt\dfrac{20}{e}$, и отрицательна при $x\gt\dfrac{20}{e}$. Значит, $M(x)$ возрастает на $\left(0;\dfrac{20}{e}\right]$ и убывает на $\left[\dfrac{20}{e};+\infty\right)$, где $\dfrac{20}{e}\approx7{,}36$.

Среди натуральных $n$ наибольшее значение может быть только у ближайших соседей этой точки: $n=7$ (левее функция возрастает) или $n=8$ (правее убывает). Сравним их:

$$M(7)=\left(\dfrac{20}{7}\right)^{7}\approx1554{,}3,\qquad M(8)=2{,}5^{8}\approx1525{,}9.$$

Точное сравнение: $M(7)\gt M(8)\iff20^{7}\cdot2^{8}\gt7^{7}\cdot5^{8}$, то есть $327\,680\,000\,000\gt321\,696\,484\,375$ — верно. Значит, выгоднее всего взять $7$ рун.

Для сравнения: при $n=5$ множитель $4^{5}=1024$, а при $n=20$ каждая руна получает одно очко и урон не растёт вовсе: $M(20)=1$.