Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042659

Масса пустой ракеты меньше начальной, поэтому $0\lt m\lt2$; на этом промежутке $\ln\dfrac2m\gt0$.

Запишем $\ln\dfrac{2}{m}=\ln2-\ln m$; тогда $\left(\ln\dfrac2m\right)'=-\dfrac1m$. По правилам производной произведения и сложной функции:

$$E'(m)=50\ln^{2}\dfrac2m+50m\cdot2\ln\dfrac2m\cdot\left(-\dfrac1m\right)=50\ln\dfrac2m\left(\ln\dfrac2m-2\right).$$

Первый множитель $\ln\dfrac2m$ на промежутке положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком $\ln\dfrac2m-2$. Он равен нулю при $\dfrac2m=e^{2}$, то есть при $m_0=\dfrac{2}{e^{2}}$.

Функция $\ln\dfrac2m$ убывает с ростом $m$. При $0\lt m\lt m_0$ она больше $2$, и производная положительна — энергия растёт; при $m_0\lt m\lt2$ она меньше $2$, производная отрицательна — энергия убывает. Значит, $m_0=\dfrac{2}{e^{2}}\approx0{,}27$ кг — точка максимума.

При этом скорость ракеты $v=10\ln e^{2}=20$ м/с, а энергия $E=\dfrac{m_0v^{2}}{2}=\dfrac{2}{e^{2}}\cdot200=\dfrac{400}{e^{2}}\approx54$ Дж.

Проверим себя другим способом. Обозначим $z=\ln\dfrac2m$, тогда $m=2e^{-z}$, и при $0\lt m\lt2$ переменная $z$ пробегает все положительные числа: $E=100z^{2}e^{-z}$. Производная $100\left(2z-z^{2}\right)e^{-z}=100z(2-z)e^{-z}$ меняет знак с плюса на минус при $z=2$, откуда $m=2e^{-2}$. Результат совпал.