Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042654

Запишем $\ln\dfrac1x=-\ln x$, тогда $v(x)=-x^{2}\ln x$. На интервале $(0;1)$ логарифм отрицателен, поэтому $v(x)\gt0$.

Производная по правилу произведения:

$$v'(x)=-2x\ln x-x^{2}\cdot\dfrac1x=-x\,(2\ln x+1).$$

При $0\lt x\lt1$ множитель $-x$ отрицателен, поэтому знак производной противоположен знаку $2\ln x+1$. Это выражение равно нулю при $\ln x=-\dfrac12$, то есть при $x_0=e^{-\frac12}=\dfrac{1}{\sqrt e}\approx0{,}61$.

Логарифм возрастает: при $x\lt x_0$ выражение $2\ln x+1$ отрицательно и $v'(x)\gt0$, при $x\gt x_0$ — положительно и $v'(x)\lt0$. Значит, $x_0=\dfrac{1}{\sqrt e}$ — точка максимума: радиус жилы должен составлять около $61\%$ внешнего радиуса изоляции.

Проверим себя другим способом. Обозначим $x=e^{-s}$, $s\gt0$; тогда $v=s\,e^{-2s}$. Производная $(1-2s)e^{-2s}$ меняет знак с плюса на минус при $s=\dfrac12$, откуда $x=e^{-\frac12}$. Результат совпал.

Физический смысл: слишком тонкая жила плохо проводит ток, а слишком тонкая изоляция даёт большую ёмкость кабеля; оба крайних случая тормозят сигнал.