Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042651

Формула получается так: вода падает с высоты $y+45$ см над полом, время падения $\sqrt{\dfrac{2(y+45)}{g}}$, а расстояние — скорость, умноженная на это время: $\sqrt{2g(30-y)}\cdot\sqrt{\dfrac{2(y+45)}{g}}=2\sqrt{(30-y)(y+45)}$.

Найдём производную по правилу сложной функции. Подкоренное выражение равно $(30-y)(y+45)=-y^{2}-15y+1350$, его производная $-2y-15$:

$$s'(y)=2\cdot\dfrac{-2y-15}{2\sqrt{(30-y)(y+45)}}=-\dfrac{2y+15}{\sqrt{(30-y)(y+45)}}.$$

При $0\leqslant y\lt30$ числитель $2y+15$ положителен, поэтому производная отрицательна на всём промежутке: чем выше дырочка, тем ближе бьёт струя. Функция убывает, и наибольшее значение достигается на левом конце, при $y=0$, — дырочку надо делать у самого дна:

$$s(0)=2\sqrt{30\cdot45}=2\sqrt{1350}=2\cdot15\sqrt6=30\sqrt6\approx73{,}5\ \text{см}.$$

Проверим себя другим способом. Подкоренное выражение — парабола ветвями вниз с корнями $30$ и $-45$; её вершина посередине, в точке $y=\dfrac{30+(-45)}{2}=-7{,}5$. Вершина лежит левее промежутка $[0;30)$, значит, на нём парабола убывает, и наибольшее значение — при $y=0$. Результат совпал.

Заметим: если бы бутылка стояла прямо на полу, дырочку выгоднее было бы делать на половине высоты воды. Табурет сдвигает ответ к самому дну.