Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042635

Откуда формула: освещённость равна $\dfrac{I\cos\varphi}{r^{2}}$, где $r=\sqrt{h^{2}+a^{2}}$ — расстояние от лампы до точки $A$, а $\varphi$ — угол между лучом и вертикалью, $\cos\varphi=\dfrac{h}{r}$. Множитель $I$ положителен и постоянен, поэтому достаточно исследовать функцию

$$f(h)=\dfrac{h}{\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac32}},\quad h\gt0.$$

Найдём производную по правилу частного. Производная знаменателя по правилу сложной функции равна $\dfrac32\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac12}\cdot2h=3h\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac12}$. Вынося в числителе множитель $\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac12}$, получаем

$$f'(h)=\dfrac{\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac32}-h\cdot3h\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac12}}{\left(h^{2}+0{,}36\right)^{3}}=\dfrac{h^{2}+0{,}36-3h^{2}}{\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac52}}=\dfrac{0{,}36-2h^{2}}{\left(h^{2}+0{,}36\right)^{\frac52}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $0{,}36-2h^{2}$. При $h\gt0$ она положительна, пока $h^{2}\lt0{,}18$, и отрицательна при $h^{2}\gt0{,}18$. Значит, освещённость растёт до высоты $h_0=\sqrt{0{,}18}$ и убывает после неё. Наибольшая освещённость — при

$$h_0=\sqrt{0{,}18}=\sqrt{0{,}09\cdot2}=0{,}3\sqrt2\ \text{м}\approx0{,}42\ \text{м}.$$

Проверим себя другим способом — через угол. Пусть $\varphi$ — угол между лучом света и вертикалью; тогда $r=\dfrac{a}{\sin\varphi}$ и $E=\dfrac{I\cos\varphi\sin^{2}\varphi}{a^{2}}$. Обозначим $c=\cos\varphi\in(0;1)$: $\cos\varphi\sin^{2}\varphi=c-c^{3}$, производная $1-3c^{2}$ меняет знак с плюса на минус при $c=\dfrac{1}{\sqrt3}$. Тогда $\sin\varphi=\sqrt{\dfrac23}$, $\operatorname{tg}\varphi=\sqrt2$, а высота $h=\dfrac{a}{\operatorname{tg}\varphi}=\dfrac{0{,}6}{\sqrt2}=0{,}3\sqrt2$ м. Результат совпал.