Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042645

Первый множитель — мощность, второй — время в пути: расстояние $3000$ м делим на скорость относительно берега $v-1$.

Найдём производную по правилу частного:

$$E'(v)=60\,000\cdot\dfrac{3v^{2}(v-1)-v^{3}}{(v-1)^{2}}=60\,000\cdot\dfrac{v^{2}(2v-3)}{(v-1)^{2}}.$$

При $v\gt1$ множители $v^{2}$ и $(v-1)^{2}$ положительны, знак производной совпадает со знаком $2v-3$. Производная равна нулю при $v=1{,}5$; при $1\lt v\lt1{,}5$ она отрицательна, при $v\gt1{,}5$ — положительна.

Значит, $v=1{,}5$ м/с — точка минимума. Относительно берега Адиль плывёт при этом со скоростью $0{,}5$ м/с, путь займёт $6000$ с, то есть $100$ минут, а энергия составит $E(1{,}5)=\dfrac{60\,000\cdot3{,}375}{0{,}5}=405\,000$ Дж.

Интересно: выгоднее всего грести ровно в полтора раза быстрее течения.

Проверим себя другим способом. Обозначим $w=v-1\gt0$, тогда $\dfrac{v^{3}}{v-1}=\dfrac{(w+1)^{3}}{w}=w^{2}+3w+3+\dfrac1w$. Производная $2w+3-\dfrac{1}{w^{2}}$ равна нулю, когда $2w^{3}+3w^{2}-1=0$, то есть $(w+1)^{2}(2w-1)=0$. Положительный корень $w=0{,}5$, откуда снова $v=1{,}5$. Результат совпал.