Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042637

Откуда формула: через $t$ секунд первый боец находится на расстоянии $|15-2t|$ клеток от точки $O$ вдоль своей дорожки, второй — на расстоянии $|20-1{,}5t|$ вдоль своей. Дорожки перпендикулярны, поэтому расстояние между бойцами находится по теореме Пифагора (модули под квадратом не нужны).

Корень — возрастающая функция, поэтому расстояние наименьшее тогда же, когда наименьшее подкоренное выражение. Раскроем скобки:

$$f(t)=(15-2t)^{2}+(20-1{,}5t)^{2}=225-60t+4t^{2}+400-60t+2{,}25t^{2}=6{,}25t^{2}-120t+625.$$

Найдём производную:

$$f'(t)=12{,}5t-120.$$

Она отрицательна при $t\lt9{,}6$ и положительна при $t\gt9{,}6$, значит, $f$ убывает на $[0;9{,}6]$, возрастает на $[9{,}6;+\infty)$, и наименьшее значение — при $t=9{,}6$ с:

$$f(9{,}6)=6{,}25\cdot92{,}16-120\cdot9{,}6+625=576-1152+625=49,\qquad d_{\min}=\sqrt{49}=7.$$

В этот момент первый боец уже пробежал через $O$ и удалился от неё на $|15-19{,}2|=4{,}2$ клетки, а второму осталось $20-14{,}4=5{,}6$ клетки; $\sqrt{4{,}2^{2}+5{,}6^{2}}=\sqrt{17{,}64+31{,}36}=\sqrt{49}=7$ — сходится.

Проверим себя другим способом — выделим полный квадрат:

$$6{,}25t^{2}-120t+625=6{,}25\left(t^{2}-19{,}2t\right)+625=6{,}25(t-9{,}6)^{2}-6{,}25\cdot92{,}16+625=6{,}25(t-9{,}6)^{2}+49.$$

Первое слагаемое неотрицательно и обращается в ноль только при $t=9{,}6$, поэтому наименьшее значение подкоренного выражения равно $49$, а наименьшее расстояние — $7$ клеток. Результат совпал.