Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042658

Первое слагаемое — расстояние от лампы до линзы, второе — от линзы до изображения: из формулы тонкой линзы $\dfrac1d+\dfrac1b=\dfrac1{20}$ получаем $b=\dfrac{20d}{d-20}$. Исследуем $\ell(d)=\dfrac{d^{2}}{d-20}$ при $d\gt20$.

По правилу дифференцирования частного:

$$\ell'(d)=\dfrac{2d(d-20)-d^{2}}{(d-20)^{2}}=\dfrac{d^{2}-40d}{(d-20)^{2}}=\dfrac{d(d-40)}{(d-20)^{2}}.$$

При $d\gt20$ множитель $d$ и знаменатель положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком $d-40$: при $20\lt d\lt40$ производная отрицательна, при $d\gt40$ положительна.

Значит, $d=40$ — точка минимума, и наименьшее расстояние

$$\ell(40)=\dfrac{1600}{20}=80\ \text{см}.$$

В этом положении лампа и экран стоят на двойном фокусном расстоянии по разные стороны линзы, и изображение получается того же размера, что и лампа.

Проверим себя другим способом. Обозначим $s=d-20\gt0$, тогда

$$\ell=\dfrac{(s+20)^{2}}{s}=s+40+\dfrac{400}{s}\geqslant40+2\sqrt{s\cdot\dfrac{400}{s}}=80,$$

причём равенство достигается при $s=\dfrac{400}{s}$, то есть $s=20$, $d=40$. Результат совпал.