Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042642

На отрезке $[0;\pi]$ синус неотрицателен, поэтому $x(t)\geqslant0$, а на концах $x(0)=x(\pi)=0$. Наибольшее значение достигается внутри отрезка.

Найдём производную по правилу произведения; производная $e^{-t}$ равна $-e^{-t}$:

$$x'(t)=2\left(-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t\right)=2e^{-t}(\cos t-\sin t).$$

Экспонента положительна, знак производной совпадает со знаком разности $\cos t-\sin t=\sqrt2\cos\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)$. Когда $t$ пробегает $[0;\pi]$, аргумент $t+\dfrac{\pi}{4}$ пробегает $\left[\dfrac{\pi}{4};\dfrac{5\pi}{4}\right]$, и косинус меняет знак с плюса на минус ровно один раз — при $t+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$, то есть при $t=\dfrac{\pi}{4}$.

Значит, $t=\dfrac{\pi}{4}$ — точка максимума, и наибольшее отклонение равно

$$x\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=2e^{-\frac{\pi}{4}}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\,e^{-\frac{\pi}{4}}\approx0{,}64\ \text{м}.$$

Проверим себя другим способом — через логарифм. При $0\lt t\lt\pi$ отклонение положительно, и его наибольшее значение достигается там же, где наибольшее у функции $\ln x(t)=\ln2-t+\ln\sin t$. Её производная $-1+\dfrac{\cos t}{\sin t}=\operatorname{ctg}t-1$ обращается в ноль при $\operatorname{ctg}t=1$, то есть при $t=\dfrac{\pi}{4}$, и меняет знак с плюса на минус, ведь котангенс на $(0;\pi)$ убывает. Результат совпал.