Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042636

Числитель $K$ постоянный, поэтому амплитуда наибольшая там, где наименьшее подкоренное выражение. Частота входит в него только в виде $\omega^{2}$; обозначим $t=\omega^{2}$, $t\gt0$ (каждому $t$ соответствует одна положительная частота $\omega=\sqrt t$). Получаем

$$g(t)=\left(\omega_0^{2}-t\right)^{2}+\gamma^{2}t=t^{2}-\left(2\omega_0^{2}-\gamma^{2}\right)t+\omega_0^{4}.$$

Найдём производную:

$$g'(t)=2t-\left(2\omega_0^{2}-\gamma^{2}\right).$$

Она меняет знак с минуса на плюс в точке $t_0=\omega_0^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{2}$. Подставим числа: $\omega_0^{2}=202\,500$, $\gamma^{2}=160\,000$, поэтому

$$t_0=202\,500-80\,000=122\,500.$$

Точка $t_0$ положительна, значит, она лежит в рассматриваемой области: $g$ убывает на $(0;t_0]$ и возрастает на $[t_0;+\infty)$, и наименьшее значение подкоренного выражения — в точке $t_0$. Возвращаемся к частоте (берём положительный корень, так как частота положительна):

$$\omega^{2}=122\,500\ \Rightarrow\ \omega=350\ \text{с}^{-1}.$$

Проверим себя. Во-первых, из-за затухания наибольшая амплитуда наступает на частоте ниже собственной: $350\lt450$ — так и должно быть. Во-вторых, сравним подкоренное выражение при трёх частотах. При $\omega=350$: $80\,000^{2}+160\,000\cdot122\,500=6{,}4\cdot10^{9}+19{,}6\cdot10^{9}=26\cdot10^{9}$. При $\omega=300$: $112\,500^{2}+160\,000\cdot90\,000\approx12{,}66\cdot10^{9}+14{,}4\cdot10^{9}=27{,}06\cdot10^{9}$. При $\omega=400$: $42\,500^{2}+160\,000\cdot160\,000\approx1{,}81\cdot10^{9}+25{,}6\cdot10^{9}=27{,}41\cdot10^{9}$. В найденной точке подкоренное выражение наименьшее, а амплитуда — наибольшая.