Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042643

Запишем доход как функцию цены:

$$D(p)=p\left(1800-20\sqrt p\right)=1800p-20p^{\frac32},\quad 0\leqslant p\leqslant8100.$$

На концах отрезка доход нулевой: при $p=0$ курс бесплатный, а при $p=8100$ не записывается никто, ведь $20\sqrt{8100}=1800$. Значит, наибольшее значение достигается внутри.

Производная степени: $\left(p^{\frac32}\right)'=\dfrac32p^{\frac12}$, поэтому

$$D'(p)=1800-30\sqrt p.$$

Производная равна нулю при $\sqrt p=60$, то есть при $p=3600$. Корень возрастает, поэтому при $p\lt3600$ производная положительна — доход растёт, при $p\gt3600$ отрицательна — падает. Значит, $p=3600$ — точка максимума.

При такой цене запишутся $1800-20\cdot60=600$ учеников, и доход составит $3600\cdot600=2\,160\,000$ рублей в месяц.

Проверим себя другим способом. Обозначим $s=\sqrt p$, $0\leqslant s\leqslant90$; тогда $D=1800s^{2}-20s^{3}$ и $D'(s)=3600s-60s^{2}=60s(60-s)$. Производная положительна при $0\lt s\lt60$ и отрицательна при $60\lt s\lt90$, так что максимум при $s=60$, $p=3600$. Результат совпал.