Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042640

Исследуем функцию $W(t)$ при $t\gt0$. Производная показателя степени $-\dfrac{t^{2}}{1800}$ равна $-\dfrac{2t}{1800}=-\dfrac{t}{900}$, поэтому по правилам дифференцирования произведения и сложной функции

$$W'(t)=e^{-\frac{t^{2}}{1800}}+t\cdot e^{-\frac{t^{2}}{1800}}\cdot\left(-\dfrac{t}{900}\right)=e^{-\frac{t^{2}}{1800}}\left(1-\dfrac{t^{2}}{900}\right).$$

Экспонента положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком скобки $1-\dfrac{t^{2}}{900}$. При $t\gt0$ она положительна, пока $t^{2}\lt900$, то есть $t\lt30$, и отрицательна при $t\gt30$. Значит, $W$ возрастает на $(0;30]$ и убывает на $[30;+\infty)$, и наибольшее значение достигается при длине ролика $30$ с.

При такой длине до конца досматривают $e^{-\frac{900}{1800}}=e^{-0{,}5}\approx0{,}61$, то есть около 61 % зрителей, а $W(30)=30e^{-0{,}5}\approx18{,}2$.

Проверим себя другим способом. Показатель положителен, поэтому можно исследовать его квадрат: $W^{2}=t^{2}e^{-\frac{t^{2}}{900}}$. Обозначим $s=t^{2}\gt0$; функция $s\,e^{-\frac{s}{900}}$ имеет производную $e^{-\frac{s}{900}}\left(1-\dfrac{s}{900}\right)$, которая меняет знак с плюса на минус при $s=900$. Значит, $t^{2}=900$ и $t=30$ с. Результат совпал. Для сравнения: ролик длиной $15$ с даёт $W=15e^{-0{,}125}\approx13{,}2$, а ролик длиной $60$ с — $W=60e^{-2}\approx8{,}1$.