Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042639

Исследуем функцию $n(t)$ при $t\geqslant0$; в момент публикации $n(0)=0$. Производные экспонент найдём по правилу сложной функции:

$$n'(t)=12\,000\left(-\dfrac{1}{20}e^{-\frac{t}{20}}+\dfrac{1}{10}e^{-\frac{t}{10}}\right)=600\,e^{-\frac{t}{20}}\left(2e^{-\frac{t}{20}}-1\right).$$

Здесь мы воспользовались тем, что $e^{-\frac{t}{10}}=\left(e^{-\frac{t}{20}}\right)^{2}$. Множитель $600e^{-\frac{t}{20}}$ положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком скобки $2e^{-\frac{t}{20}}-1$. Функция $e^{-\frac{t}{20}}$ убывает от $1$, поэтому скобка положительна, пока $e^{-\frac{t}{20}}\gt\dfrac12$, то есть при $t\lt20\ln2$, и отрицательна после. Значит, наибольшее число просмотров в час — в момент $t_0=20\ln2\approx13{,}9$ ч.

В этот момент $e^{-\frac{t_0}{20}}=\dfrac12$ и $e^{-\frac{t_0}{10}}=\dfrac14$, поэтому

$$n(t_0)=12\,000\left(\dfrac12-\dfrac14\right)=12\,000\cdot\dfrac14=3000\ \text{просмотров в час}.$$

Проверим себя другим способом. Обозначим $u=e^{-\frac{t}{20}}$; при $t\geqslant0$ величина $u$ принимает значения из промежутка $(0;1]$, и $n=12\,000\left(u-u^{2}\right)$. Это квадратичная функция, её график — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $u=\dfrac12$, лежащей внутри промежутка; значение в вершине $12\,000\cdot\dfrac14=3000$. Результат совпал.