Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042638

Выручка как функция цены:

$$R(p)=\dfrac{3{,}2\cdot10^{9}\,p}{(p+1000)^{2}},\qquad p\geqslant0.$$

Найдём производную по правилу частного; производная знаменателя $(p+1000)^{2}$ равна $2(p+1000)$. В числителе вынесем общий множитель $p+1000$:

$$R'(p)=3{,}2\cdot10^{9}\cdot\dfrac{(p+1000)^{2}-p\cdot2(p+1000)}{(p+1000)^{4}}=3{,}2\cdot10^{9}\cdot\dfrac{1000-p}{(p+1000)^{3}}.$$

При $p\geqslant0$ знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $1000-p$: производная положительна при $0\leqslant p\lt1000$ и отрицательна при $p\gt1000$. Значит, выручка возрастает на $[0;1000]$ и убывает на $[1000;+\infty)$; наибольшая выручка — при цене $1000$ рублей. При этой цене будет продано

$$N(1000)=\dfrac{3{,}2\cdot10^{9}}{4\cdot10^{6}}=800\ \text{билетов},\qquad R(1000)=1000\cdot800=800\,000\ \text{рублей}.$$

Проверим себя другим способом. При $p\gt0$ разделим числитель и знаменатель на $p$:

$$R=\dfrac{3{,}2\cdot10^{9}}{p+2000+\dfrac{10^{6}}{p}}.$$

Дробь с постоянным числителем наибольшая, когда знаменатель наименьший. По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом $p+\dfrac{10^{6}}{p}\geqslant2\sqrt{10^{6}}=2000$, и равенство достигается при $p=1000$. Значит, знаменатель не меньше $4000$, и $R\leqslant\dfrac{3{,}2\cdot10^{9}}{4000}=800\,000$ рублей. Результат совпал.