Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042634

Ищем наименьшее значение функции $P(x)$ на интервале $(0;6)$. Производная функции $\dfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}$ равна $-\dfrac{2}{x^{3}}$, а производная функции $\dfrac{8}{(6-x)^{2}}=8(6-x)^{-2}$ по правилу сложной функции равна $8\cdot(-2)(6-x)^{-3}\cdot(-1)=\dfrac{16}{(6-x)^{3}}$. Значит,

$$P'(x)=-\dfrac{2}{x^{3}}+\dfrac{16}{(6-x)^{3}}.$$

Приравняем производную к нулю:

$$\dfrac{16}{(6-x)^{3}}=\dfrac{2}{x^{3}}\ \Leftrightarrow\ (6-x)^{3}=8x^{3}\ \Leftrightarrow\ 6-x=2x\ \Leftrightarrow\ x=2.$$

Переход от равенства кубов к равенству оснований законен: функция $t^{3}$ возрастает, поэтому равные кубы бывают только у равных чисел.

Определим знак производной. Производная положительна, когда $\dfrac{16}{(6-x)^{3}}\gt\dfrac{2}{x^{3}}$, то есть $8x^{3}\gt(6-x)^{3}$, $2x\gt6-x$, $x\gt2$; аналогично она отрицательна при $0\lt x\lt2$. Значит, $P$ убывает на $(0;2]$ и возрастает на $[2;6)$, и самый слабый сигнал — в точке $x=2$ км, где

$$P(2)=\dfrac14+\dfrac{8}{16}=\dfrac34.$$

Проверим себя. Слабее всего сигнал ближе к слабой вышке — это разумно: мощная вторая вышка «дотягивается» дальше. Посчитаем уровень сигнала по обе стороны от найденной точки: $P(1{,}5)=\dfrac{1}{2{,}25}+\dfrac{8}{20{,}25}\approx0{,}444+0{,}395=0{,}839$ и $P(2{,}5)=\dfrac{1}{6{,}25}+\dfrac{8}{12{,}25}\approx0{,}160+0{,}653=0{,}813$ — оба значения больше $0{,}75$.