Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042630

Подставим $c=50$:

$$D(p)=3000\,(p-50)\,e^{-\frac{p}{250}},\qquad p\geqslant50.$$

Найдём производную по правилу дифференцирования произведения. Производная функции $e^{-\frac{p}{250}}$ по правилу сложной функции равна $-\dfrac{1}{250}e^{-\frac{p}{250}}$:

$$D'(p)=3000\left(e^{-\frac{p}{250}}-\dfrac{p-50}{250}\,e^{-\frac{p}{250}}\right)=3000\,e^{-\frac{p}{250}}\cdot\dfrac{250-(p-50)}{250}=12\,e^{-\frac{p}{250}}\,(300-p).$$

Экспонента положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $300-p$: при $50\leqslant p\lt300$ производная положительна, при $p\gt300$ — отрицательна. Значит, доход возрастает на $[50;300]$ и убывает на $[300;+\infty)$, и наибольший доход достигается при цене $300$ рублей.

Для полноты найдём сам доход: $D(300)=3000\cdot250\cdot e^{-1{,}2}=750\,000\,e^{-1{,}2}\approx225\,900$ рублей; подписку при этом оформят $3000e^{-1{,}2}\approx904$ зрителя.

Проверим себя другим способом — через логарифм. При $p\gt50$ доход положителен, и он наибольший там же, где наибольший его натуральный логарифм:

$$\ln D(p)=\ln3000+\ln(p-50)-\dfrac{p}{250}.$$

Производная этой функции равна $\dfrac{1}{p-50}-\dfrac{1}{250}$; она положительна при $p-50\lt250$ и отрицательна при $p-50\gt250$. Максимум — при $p-50=250$, то есть при $p=300$ рублей. Заметим, что выгодная цена ровно на комиссию больше той, что была бы без комиссии: при $c=0$ максимум был бы при $p=250$.