Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042629

Выручка как функция цены:

$$R(p)=4500\,p\left(1-\dfrac{p}{900}\right)^{2},\qquad 0\leqslant p\leqslant900.$$

На концах отрезка выручка равна нулю: при $p=0$ подписка бесплатна, при $p=900$ её никто не покупает. Найдём производную по правилу дифференцирования произведения; производная функции $\left(1-\dfrac{p}{900}\right)^{2}$ равна $2\left(1-\dfrac{p}{900}\right)\cdot\left(-\dfrac{1}{900}\right)$:

$$R'(p)=4500\left(\left(1-\dfrac{p}{900}\right)^{2}-\dfrac{2p}{900}\left(1-\dfrac{p}{900}\right)\right)=4500\left(1-\dfrac{p}{900}\right)\left(1-\dfrac{3p}{900}\right).$$

На интервале $(0;900)$ первая скобка положительна, поэтому знак производной совпадает со знаком второй скобки $1-\dfrac{p}{300}$: производная положительна при $p\lt300$ и отрицательна при $p\gt300$. Значит, выручка возрастает на $[0;300]$ и убывает на $[300;900]$; наибольшее значение — при цене $300$ рублей.

При $p=300$ подписку оформят $N(300)=4500\cdot\left(\dfrac23\right)^{2}=4500\cdot\dfrac49=2000$ зрителей, и выручка составит

$$R(300)=300\cdot2000=600\,000\ \text{рублей}.$$

Проверим себя другим способом. Обозначим $q=1-\dfrac{p}{900}$, $0\leqslant q\leqslant1$; тогда $p=900(1-q)$ и $R=4500\cdot900\cdot q^{2}(1-q)=4\,050\,000\cdot q^{2}(1-q)$. Запишем $q\cdot q\cdot(1-q)=\dfrac12\cdot q\cdot q\cdot(2-2q)$; сумма трёх множителей $q+q+(2-2q)=2$ постоянна, поэтому по неравенству о среднем их произведение не больше $\left(\dfrac23\right)^{3}=\dfrac{8}{27}$, причём равенство — при $q=2-2q$, то есть $q=\dfrac23$. Получаем $R\leqslant4\,050\,000\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{8}{27}=600\,000$ рублей. Результат совпал.