Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042628

Функция $T(x)$ задана на отрезке $[0;40]$. Найдём её производную. Производная корня $\sqrt{144+(40-x)^{2}}$ по правилу сложной функции равна $\dfrac{2(40-x)\cdot(-1)}{2\sqrt{144+(40-x)^{2}}}$, поэтому

$$T'(x)=\dfrac15-\dfrac{40-x}{3\sqrt{144+(40-x)^{2}}}.$$

Обозначим $s=40-x$ — расстояние от точки $M$ до точки $B$, $s\geqslant0$. Производная равна нулю, когда

$$\dfrac{s}{3\sqrt{144+s^{2}}}=\dfrac15\ \Leftrightarrow\ 5s=3\sqrt{144+s^{2}}\ \Leftrightarrow\ 25s^{2}=9\left(144+s^{2}\right)\ \Leftrightarrow\ 16s^{2}=1296\ \Leftrightarrow\ s=9.$$

Возведение в квадрат не дало посторонних корней: обе части равенства $5s=3\sqrt{144+s^{2}}$ при $s\geqslant0$ неотрицательны. Значит, $x_0=40-9=31$.

Определим знак производной. Дробь $\dfrac{s}{\sqrt{144+s^{2}}}$ возрастает с ростом $s$ (её квадрат $1-\dfrac{144}{144+s^{2}}$ растёт), а при увеличении $x$ расстояние $s$ уменьшается. Поэтому при $x\lt31$ (то есть $s\gt9$) вычитаемое больше $\dfrac15$ и $T'(x)\lt0$, а при $x\gt31$ ($s\lt9$) вычитаемое меньше $\dfrac15$ и $T'(x)\gt0$. Значит, $x_0=31$ — точка минимума на отрезке:

$$T(31)=\dfrac{31}{5}+\dfrac{\sqrt{144+81}}{3}=6{,}2+\dfrac{15}{3}=6{,}2+5=11{,}2\ \text{с}.$$

Для полноты сравним с концами отрезка: $T(40)=8+\dfrac{12}{3}=12$ с (добежать до $B$ и плыть напрямик), $T(0)=\dfrac{\sqrt{144+1600}}{3}=\dfrac{\sqrt{1744}}{3}\approx13{,}9$ с (плыть сразу из $A$). Оба значения больше $11{,}2$ с.

Проверим себя другим способом. Пусть $\theta$ — угол между отрезком $MC$ и перпендикуляром $BC$ к берегу, $0\leqslant\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$. Тогда $MB=12\operatorname{tg}\theta$, $MC=\dfrac{12}{\cos\theta}$ и

$$T(\theta)=\dfrac{40-12\operatorname{tg}\theta}{5}+\dfrac{4}{\cos\theta},\qquad T'(\theta)=\dfrac{-2{,}4+4\sin\theta}{\cos^{2}\theta}.$$

Производная меняет знак с минуса на плюс при $\sin\theta=0{,}6$. Тогда $\cos\theta=0{,}8$, $\operatorname{tg}\theta=0{,}75$, $MB=9$ м, $MC=15$ м, и $T=\dfrac{31}{5}+\dfrac{15}{3}=11{,}2$ с. Результат совпал.