Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042627

Планер снижается равномерно со скоростью $w$, поэтому высоту $H$ он потеряет за время $T=\dfrac{H}{w}$. Значит, время полёта наибольшее, когда скорость снижения $w(v)$ наименьшая. Исследуем функцию $w(v)$ при $v\gt0$.

$$w'(v)=\dfrac{3v^{2}}{3000}-\dfrac{10}{v^{2}}=\dfrac{v^{2}}{1000}-\dfrac{10}{v^{2}}=\dfrac{v^{4}-10\,000}{1000\,v^{2}}.$$

Знаменатель положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $v^{4}-10\,000$. Так как $10^{4}=10\,000$, при $0\lt v\lt10$ эта разность отрицательна, а при $v\gt10$ положительна. Значит, $w$ убывает на $(0;10]$, возрастает на $[10;+\infty)$, и наименьшая скорость снижения достигается при $v=10$ м/с:

$$w(10)=\dfrac{1000}{3000}+\dfrac{10}{10}=\dfrac13+1=\dfrac43\ \text{м/с}.$$

Наибольшее время полёта:

$$T_{\max}=\dfrac{H}{w(10)}=60:\dfrac43=60\cdot\dfrac34=45\ \text{с}.$$

Проверим себя другим способом — неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для четырёх положительных чисел. Разобьём второе слагаемое на три равные части:

$$w(v)=\dfrac{v^{3}}{3000}+\dfrac{10}{3v}+\dfrac{10}{3v}+\dfrac{10}{3v}\geqslant4\sqrt[4]{\dfrac{v^{3}}{3000}\cdot\dfrac{1000}{27v^{3}}}=4\sqrt[4]{\dfrac{1}{81}}=\dfrac43.$$

Равенство достигается, когда все четыре слагаемых равны: $\dfrac{v^{3}}{3000}=\dfrac{10}{3v}$, то есть $v^{4}=10\,000$, $v=10$. Наименьшая скорость снижения снова $\dfrac43$ м/с, а время полёта $45$ с.