Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042626

Подставим числа: $\mu mg=0{,}75\cdot40\cdot10=300$. Тогда

$$F(\alpha)=\dfrac{300}{q(\alpha)},\qquad q(\alpha)=\cos\alpha+0{,}75\sin\alpha.$$

На промежутке $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ знаменатель $q(\alpha)$ положителен, а числитель постоянен, поэтому сила наименьшая там, где $q(\alpha)$ наибольшая. Найдём производную знаменателя:

$$q'(\alpha)=-\sin\alpha+0{,}75\cos\alpha.$$

Производная равна нулю, когда $\sin\alpha=0{,}75\cos\alpha$; разделив на $\cos\alpha\gt0$, получаем $\operatorname{tg}\alpha=0{,}75$. Обозначим этот угол $\alpha_0$; он лежит в рассматриваемом промежутке.

Определим знак производной. После деления на положительный $\cos\alpha$ знак $q'(\alpha)$ совпадает со знаком разности $0{,}75-\operatorname{tg}\alpha$. Тангенс на промежутке возрастает, поэтому $q'\gt0$ при $\alpha\lt\alpha_0$ и $q'\lt0$ при $\alpha\gt\alpha_0$. Значит, $\alpha_0$ — точка максимума знаменателя, а значит, точка минимума силы $F$.

Найдём $\sin\alpha_0$ и $\cos\alpha_0$. Из тождества $1+\operatorname{tg}^{2}\alpha_0=\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha_0}$ получаем $\cos^{2}\alpha_0=\dfrac{1}{1+0{,}5625}=\dfrac{16}{25}$, $\cos\alpha_0=0{,}8$ (угол острый), $\sin\alpha_0=0{,}75\cdot0{,}8=0{,}6$. Тогда

$$q(\alpha_0)=0{,}8+0{,}75\cdot0{,}6=1{,}25,\qquad F_{\min}=\dfrac{300}{1{,}25}=240\ \text{Н}.$$

Проверим себя другим способом — методом вспомогательного угла. Выражение $\cos\alpha+0{,}75\sin\alpha$ можно записать как $1{,}25\left(0{,}8\cos\alpha+0{,}6\sin\alpha\right)=1{,}25\cos(\alpha-\alpha_0)$, где $\cos\alpha_0=0{,}8$, $\sin\alpha_0=0{,}6$. Косинус не больше единицы, поэтому $q(\alpha)\leqslant1{,}25$, и равенство достигается при $\alpha=\alpha_0$. Получаем ту же наименьшую силу $240$ Н — на $60$ Н меньше, чем при горизонтальной верёвке ($F(0)=300$ Н).