Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042625

Скорость положительна, поэтому $v$ наименьшая тогда же, когда наименьший её квадрат. Обозначим $u=\operatorname{tg}\alpha$ и подставим числа: $\dfrac{gd^{2}}{2}=\dfrac{32\cdot16}{2}=256$, $du-h=4u-3$. Получаем

$$v^{2}=256\cdot f(u),\qquad f(u)=\dfrac{1+u^{2}}{4u-3},\quad u\gt\dfrac34.$$

Условие $u\gt\dfrac34$ означает, что площадка направляет персонажа выше края уступа; при меньших углах знаменатель неположителен, и попасть на уступ нельзя.

Найдём производную по правилу дифференцирования частного:

$$f'(u)=\dfrac{2u(4u-3)-4\left(1+u^{2}\right)}{(4u-3)^{2}}=\dfrac{4u^{2}-6u-4}{(4u-3)^{2}}=\dfrac{2(2u+1)(u-2)}{(4u-3)^{2}}.$$

При $u\gt\dfrac34$ множители $2u+1$ и $(4u-3)^{2}$ положительны, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $u-2$: $f'(u)\lt0$ при $\dfrac34\lt u\lt2$ и $f'(u)\gt0$ при $u\gt2$. Второй корень числителя $u=-\dfrac12$ лежит вне допустимого луча. Значит, $f$ убывает на $\left(\dfrac34;2\right]$, возрастает на $[2;+\infty)$ и принимает наименьшее значение при $u=2$:

$$f(2)=\dfrac{1+4}{8-3}=1,\qquad v_{\min}^{2}=256\cdot1=256,\qquad v_{\min}=16\ \text{студ/с}.$$

Проверим себя другим способом. При заданной скорости запишем условие попадания как квадратное уравнение относительно $u$. Обозначим $K=\dfrac{gd^{2}}{2v^{2}}=\dfrac{256}{v^{2}}$; тогда условие принимает вид $K\left(1+u^{2}\right)=4u-3$, то есть $Ku^{2}-4u+(K+3)=0$. Подходящий угол существует, только если дискриминант неотрицателен:

$$16-4K(K+3)\geqslant0\ \Leftrightarrow\ K^{2}+3K-4\leqslant0\ \Leftrightarrow\ (K+4)(K-1)\leqslant0\ \Leftrightarrow\ K\leqslant1$$

(учли, что $K\gt0$). Значит, $\dfrac{256}{v^{2}}\leqslant1$, то есть $v\geqslant16$ студ/с, а при $v=16$ уравнение имеет единственный корень $u=\dfrac{4}{2K}=2$ — тот же угол. Результат совпал.