Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042624

Подставим числа: $\dfrac{gd^{2}}{2v^{2}}=\dfrac{10\cdot121}{2\cdot121}=5$. Получаем

$$y(\alpha)=11\operatorname{tg}\alpha-\dfrac{5}{\cos^{2}\alpha},\quad 0\lt\alpha\lt\dfrac{\pi}{2}.$$

Найдём производную. Производная тангенса равна $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$. Функцию $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$ запишем как $(\cos\alpha)^{-2}$; по правилу сложной функции её производная равна $-2(\cos\alpha)^{-3}\cdot(-\sin\alpha)=\dfrac{2\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}$. Значит,

$$y'(\alpha)=\dfrac{11}{\cos^{2}\alpha}-\dfrac{10\sin\alpha}{\cos^{3}\alpha}=\dfrac{11-10\operatorname{tg}\alpha}{\cos^{2}\alpha}.$$

Множитель $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}$ положителен, поэтому знак производной совпадает со знаком разности $11-10\operatorname{tg}\alpha$. Тангенс на $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$ возрастает, значит, производная положительна при $\operatorname{tg}\alpha\lt1{,}1$ и отрицательна при $\operatorname{tg}\alpha\gt1{,}1$. Наибольшая высота получается при угле $\alpha_0$, для которого $\operatorname{tg}\alpha_0=1{,}1$.

Чтобы найти высоту, воспользуемся тождеством $\dfrac{1}{\cos^{2}\alpha}=1+\operatorname{tg}^{2}\alpha$:

$$y(\alpha_0)=11\cdot1{,}1-5\cdot\left(1+1{,}21\right)=12{,}1-11{,}05=1{,}05\ \text{м}.$$

Проверим себя другим способом. Обозначим $u=\operatorname{tg}\alpha$; когда $\alpha$ пробегает $\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)$, $u$ пробегает все положительные числа. Тогда $y=11u-5\left(1+u^{2}\right)=-5u^{2}+11u-5$ — квадратичная функция, её график — парабола ветвями вниз с вершиной в точке $u_0=\dfrac{11}{10}=1{,}1\gt0$. Значение в вершине: $-5\cdot1{,}21+12{,}1-5=1{,}05$ м. Результат совпал: при такой скорости мяч пересечёт линию ворот не выше $1{,}05$ м, и вратарь, оставшийся в центре ворот, его поймает.