Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042623

Подставим числа: $\dfrac{g}{k}=\dfrac{10}{0{,}5}=20$, $v_0+\dfrac{g}{k}=40$, а деление на $k=0{,}5$ — это умножение на $2$. Получаем

$$h(t)=80\left(1-e^{-0{,}5t}\right)-20t,\quad t\geqslant0.$$

Найдём производную. Производная функции $e^{-0{,}5t}$ по правилу сложной функции равна $-0{,}5e^{-0{,}5t}$, поэтому

$$h'(t)=80\cdot0{,}5\,e^{-0{,}5t}-20=40e^{-0{,}5t}-20.$$

Производная высоты по времени — это скорость мяча. В верхней точке она равна нулю:

$$40e^{-0{,}5t}=20\ \Leftrightarrow\ e^{-0{,}5t}=\dfrac12\ \Leftrightarrow\ -0{,}5t=-\ln2\ \Leftrightarrow\ t_0=2\ln2.$$

Функция $e^{-0{,}5t}$ убывает, поэтому при $0\leqslant t\lt t_0$ выполнено $e^{-0{,}5t}\gt\dfrac12$ и $h'(t)\gt0$ — мяч поднимается, а при $t\gt t_0$ производная отрицательна — мяч опускается. Значит, $t_0$ — точка максимума, и наибольшая высота равна $h(t_0)$.

В момент $t_0$ уже известно, что $e^{-0{,}5t_0}=\dfrac12$, а $20t_0=40\ln2$:

$$h(t_0)=80\left(1-\dfrac12\right)-40\ln2=40-40\ln2\ \text{м}\approx12{,}3\ \text{м}.$$

Проверим себя. Во-первых, без сопротивления воздуха мяч поднялся бы на $\dfrac{v_0^{2}}{2g}=\dfrac{400}{20}=20$ м, а сопротивление может только уменьшить высоту: $12{,}3\lt20$. Во-вторых, посчитаем высоту в соседние моменты ($t_0\approx1{,}39$ с): $h(1{,}2)=80\left(1-e^{-0{,}6}\right)-24\approx12{,}10$ м и $h(1{,}6)=80\left(1-e^{-0{,}8}\right)-32\approx12{,}05$ м — обе меньше $12{,}27$ м.