Наибольшее… — Задание 17 ЕГЭ по математике №00042621

Подставим известные числа. Множитель перед произведением тригонометрических функций постоянный:

$$\dfrac{2v^{2}}{g\cos^{2}\beta}=\dfrac{2\cdot144}{10\cdot0{,}64}=\dfrac{288}{6{,}4}=45.$$

Значит, $L(\alpha)=45\cos\alpha\,\sin(\alpha-\beta)$, где угол $\alpha$ меняется на интервале $\left(\beta;\dfrac{\pi}{2}\right)$. На концах этого интервала $L=0$: при $\alpha=\beta$ мяч летит вдоль склона и сразу касается его, при $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ — вертикально вверх и падает обратно в точку удара.

Найдём производную по правилу дифференцирования произведения:

$$L'(\alpha)=45\big(-\sin\alpha\,\sin(\alpha-\beta)+\cos\alpha\,\cos(\alpha-\beta)\big).$$

В скобках стоит формула косинуса суммы: $\cos\alpha\cos(\alpha-\beta)-\sin\alpha\sin(\alpha-\beta)=\cos\big(\alpha+(\alpha-\beta)\big)$. Поэтому

$$L'(\alpha)=45\cos(2\alpha-\beta).$$

Когда $\alpha$ пробегает интервал $\left(\beta;\dfrac{\pi}{2}\right)$, угол $2\alpha-\beta$ пробегает интервал $(\beta;\pi-\beta)$. Косинус на нём положителен, пока $2\alpha-\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$, и отрицателен после. Значит, $L$ возрастает при $2\alpha-\beta\lt\dfrac{\pi}{2}$ и убывает при $2\alpha-\beta\gt\dfrac{\pi}{2}$, а наибольшее значение достигается при $2\alpha_0-\beta=\dfrac{\pi}{2}$, то есть при $\alpha_0=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\beta}{2}$.

Чтобы найти $L(\alpha_0)$, не вычисляя сам угол, преобразуем произведение в сумму:

$$\cos\alpha\,\sin(\alpha-\beta)=\dfrac{\sin(2\alpha-\beta)-\sin\beta}{2}.$$

При $\alpha=\alpha_0$ имеем $\sin(2\alpha_0-\beta)=\sin\dfrac{\pi}{2}=1$, поэтому

$$L(\alpha_0)=45\cdot\dfrac{1-0{,}6}{2}=45\cdot0{,}2=9\ \text{м}.$$

Проверим себя другим способом. Формула произведения в сумму сразу даёт $L(\alpha)=22{,}5\big(\sin(2\alpha-\beta)-0{,}6\big)$. Синус не больше единицы, а значение $1$ достигается при $2\alpha-\beta=\dfrac{\pi}{2}$ — этот угол лежит внутри допустимого интервала. Поэтому $L\leqslant22{,}5\cdot0{,}4=9$ м, и равенство достигается. Ещё одна проверка по смыслу: на ровном поле (при $\beta=0$) та же формула дала бы наибольшую дальность $\dfrac{v^{2}}{g}=14{,}4$ м, а вверх по склону мяч, как и должно быть, улетает ближе.