Global EE

Кредиты — Задание 13 ЕГЭ по математике №00042618

Задание №13. Экономические задачи

Кредиты

№2. Задание 13

ID: 00042618

Адиль, преподаватель математики Global EE, давно мечтал об интерактивной доске, на которую целиком помещается задача с параметром — вместе с графиками и всеми случаями. 15 января он планирует взять на такую доску кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Дата

15.01

15.02

15.03

15.04

15.05

15.06

Долг (в процентах от кредита)

100 %

75 %

50 %

30 %

10 %

0 %

Найдите $r$, если известно, что общая сумма выплат составит 331,8 тыс. рублей.

Источник: Global_EE

Решение

Таблица задаёт долг на 15-е число каждого месяца в процентах от кредита. Переведём проценты в тысячи рублей: $75\%$ от $300$ — это $225$, $50\%$ — $150$, $30\%$ — $90$, $10\%$ — $30$. Долги на 15-е: $300$, $225$, $150$, $90$, $30$, $0$ тыс. рублей.

Обозначим $q=\dfrac{r}{100}$. Платёж месяца — это долг после начисления 1-го числа минус долг, который должен остаться 15-го:

$$\text{февраль: } 300(1+q)-225;\qquad \text{март: } 225(1+q)-150;$$

$$\text{апрель: } 150(1+q)-90;\qquad \text{май: } 90(1+q)-30;\qquad \text{июнь: } 30(1+q).$$

Сложим все пять платежей. Слагаемые без $q$ дают $300+225+150+90+30-225-150-90-30=300$ — ровно кредит. Слагаемые с $q$ — это проценты:

$$\text{сумма выплат}=300+q\,(300+225+150+90+30)=300+795q.$$

По условию сумма выплат равна $331{,}8$ тыс. рублей:

$$300+795q=331{,}8\ \Rightarrow\ 795q=31{,}8\ \Rightarrow\ q=\dfrac{31{,}8}{795}=0{,}04.$$

Значит, долг каждый месяц растёт на $4\%$, то есть $r=4$.

Проверим прогоном при $r=4$: платежи $312-225=87$, $234-150=84$, $156-90=66$, $93{,}6-30=63{,}6$ и $31{,}2$. Сумма $87+84+66+63{,}6+31{,}2=331{,}8$ тыс. рублей — совпало.

Ответ

4
Другие задания по теме «Кредиты» (8)