Задание 13 ЕГЭ по математике №00042617

Пусть Сэви откладывает $x$ рублей в месяц. Сумма должна подойти при любом подорожании не больше $25\%$, поэтому рассматриваем самый неудачный случай — кроссовки каждый месяц дорожают ровно на $25\%$. Если цена растёт медленнее, купить только легче.

Деньги откладываются в середине месяца, а дорожают кроссовки в конце. Поэтому в середине $n$-го месяца у Сэви $nx$ рублей, а кроссовки подорожали $n-1$ раз и стоят $64\,000\cdot1{,}25^{n-1}$ рублей.

Купить кроссовки в $n$-м месяце можно, если

$$nx\ge64\,000\cdot1{,}25^{n-1}\ \Leftrightarrow\ x\ge f(n)=\dfrac{64\,000\cdot1{,}25^{n-1}}{n}.$$

Сэви достаточно одного подходящего месяца, поэтому наименьшая сумма $x$ равна наименьшему из чисел $f(n)$.

Сравним соседние значения: $\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{1{,}25n}{n+1}$. Эта дробь меньше $1$, когда $1{,}25n\lt n+1$, то есть при $n\lt4$; равна $1$ при $n=4$ и больше $1$ при $n\gt4$. Значит, $f$ убывает до $n=4$, $f(4)=f(5)$, а дальше растёт.

Наименьшее значение:

$$f(4)=\dfrac{64\,000\cdot1{,}25^{3}}{4}=16\,000\cdot1{,}953125=31\,250.$$

Проверим таблицей: $f(1)=64\,000$, $f(2)=40\,000$, $f(3)\approx33\,333$, $f(4)=31\,250$, $f(5)=31\,250$, $f(6)\approx32\,552$. При $x=31\,250$ в середине четвёртого месяца накоплено $125\,000$ рублей, а кроссовки стоят не больше $64\,000\cdot1{,}25^{3}=125\,000$ — покупка возможна. При меньшем $x$ и росте ровно на $25\%$ накопления отстают от цены в каждом месяце.