Задание 13 ЕГЭ по математике №00042097

Обозначу ежемесячную сумму $x$ рублей. Нужно гарантировать покупку при любом подорожании до $40\%$, поэтому беру худший случай: каждый месяц пакет дорожает ровно на $40\%$. При более медленном росте цена только ниже.

Составлю таблицу на середину каждого месяца (деньги уже отложены, а очередного подорожания ещё не было):

1-й месяц: накоплено $x$, цена $42\,000$; 2-й месяц: накоплено $2x$, цена $42\,000\cdot1{,}4=58\,800$; 3-й месяц: накоплено $3x$, цена $58\,800\cdot1{,}4=82\,320$; 4-й месяц: накоплено $4x$, цена $82\,320\cdot1{,}4=115\,248$.

Купить в $n$-м месяце можно при $x\ge\dfrac{42\,000\cdot1{,}4^{n-1}}{n}$. По таблице это $42\,000$, $29\,400$, $27\,440$, $28\,812$ для $n=1,2,3,4$.

Дальше требуемая сумма только растёт. Переход от $n$ к $n+1$ умножает её на $\dfrac{1{,}4n}{n+1}$, а это число больше $1$ при $1{,}4n\gt n+1$, то есть при $n\gt2{,}5$. Значит, наименьшее требование — в третьем месяце.

$$x_{\min}=\dfrac{82\,320}{3}=27\,440\ \text{рублей}.$$

Проверка: при $x=27\,440$ в середине третьего месяца накоплено $3\cdot27\,440=82\,320$ рублей, а пакет стоит не больше $82\,320$ — покупка возможна. При меньшей сумме и росте ровно на $40\%$ копилка отстаёт от цены в каждом месяце.