Задание 13 ЕГЭ по математике №00042096

Пусть Александр откладывает $x$ рублей в месяц. Сумма должна позволить купить пакет при любом подорожании не больше $20\%$, поэтому рассматриваю самый неудачный случай — пакет каждый месяц дорожает ровно на $20\%$. Если цена растёт медленнее, купить только легче.

Деньги откладываются в середине месяца, а дорожает пакет в конце. Поэтому в середине $n$-го месяца у Александра $nx$ рублей, а пакет подорожал $n-1$ раз и стоит $200\,000\cdot1{,}2^{n-1}$.

Купить пакет можно в $n$-м месяце, если

$$nx\ge200\,000\cdot1{,}2^{n-1}\ \Leftrightarrow\ x\ge f(n)=\dfrac{200\,000\cdot1{,}2^{n-1}}{n}.$$

Александру достаточно одного подходящего месяца, поэтому наименьшая сумма $x$ равна наименьшему из чисел $f(n)$.

Сравню соседние значения: $\dfrac{f(n+1)}{f(n)}=\dfrac{1{,}2n}{n+1}$. Эта дробь меньше $1$, когда $1{,}2n\lt n+1$, то есть $n\lt5$; равна $1$ при $n=5$ и больше $1$ при $n\gt5$. Значит, $f$ убывает до $n=5$, $f(5)=f(6)$, а дальше растёт.

Наименьшее значение:

$$f(5)=\dfrac{200\,000\cdot1{,}2^{4}}{5}=40\,000\cdot2{,}0736=82\,944.$$

Проверю таблицей: $f(1)=200\,000$, $f(2)=120\,000$, $f(3)=96\,000$, $f(4)=86\,400$, $f(5)=82\,944$, $f(6)=82\,944$, $f(7)\approx85\,315$. При $x=82\,944$ в середине пятого месяца накоплено $414\,720$ рублей, а пакет стоит не больше $200\,000\cdot1{,}2^{4}=414\,720$ — покупка возможна. При меньшем $x$ и росте ровно на $20\%$ копилка отстаёт от цены в каждом месяце.